プレイした音声を録音することができますか？

可能です。録音はDDJ-GRV6と接続したDJアプリケーションの録音機能を使用して行います。
DJアプリケーションにより録音の可否が異なります。

【rekordbox for Mac/Windowsの場合】
DJプレイを録音することができます。
rekordbox for Mac/Windowsの画面左上の[録音パネル]アイコンをクリックすることで、画面の中段に録音パネルが表示されます。
こちらに表示される録音ボタンで録音の開始、停止ができます。
詳細は[rekordbox操作説明書]の[PERFORMANCEモード]の[録音する]をご参照ください。
rekordbox操作説明書は[こちら]よりご入手いただけます。

【rekordbox for iOS/Androidの場合】
rekordbox for iOS/Androidで録音することはできません。

【Serato DJ Proの場合】
DJプレイを録音することができます。
Serato DJ Pro画面左上の[REC]をクリックして点灯状態にすることで、画面の中段にレコーディングパネルが表示されます。
こちらに表示される[REC]ボタンで録音の開始、停止ができます。
詳細はSerato DJ Proのソフトウェアマニュアルをご参照ください。
Serato DJ Proのソフトウェアマニュアルは[こちら]のSerato社のウェブサイトよりご入手いただけます。