プレイした音声を録音することができますか？

可能です。大きく二通りの録音方法があります。
■MASTER REC機能
本機のUSBデバイス挿入口に接続されたUSBストレージデバイスやHDD等に録音します。
タイトル/ステータスバーの[REC]をタッチすると[REC]パネルが表示されます。
詳細は取扱説明書の[録音]をご参照ください。
取扱説明書は[こちら]よりご入手いただけます。
■DJアプリケーションの録音機能
本機と接続したDJアプリケーションの録音機能を使用して録音します。
【rekordbox for Mac/Windowsの場合】
rekordbox画面左上の[REC]をクリックしてチェックを入れることで、画面の中段に録音パネルが表示されます。
こちらに表示される録音ボタンで録音の開始、停止ができます。
詳細は[rekordbox操作説明書]の[PERFORMANCEモード]または[EXPORTモード]の[録音する]をご参照ください。

rekordbox操作説明書は[rekordbox.com]よりご入手いただけます。
【Serato DJ Liteの場合】
Serato DJ Liteでは録音できません。
また、Serato DJ Proでは録音可能ですがライセンスの購入が必要となります。
Serato DJ Pro画面左上の[REC]をクリックして点灯状態にすることで、画面の中段にレコーディングパネルが表示されます。
こちらに表示される[REC]ボタンで録音の開始、停止ができます。
詳細はSerato DJ Proのソフトウェアマニュアルをご参照ください。
Serato DJ Proのソフトウェアマニュアルは[serato.com]からご入手いただけます。